我们在理解极限时，是讲当自变量 $x$ 无限逼近 $c$ 时，若 $f(x)$ 无限逼近 $L$，则称 $f(x)$ 在 $x=c$ 处的极限为 $L$。

乍一看，似乎并没有不妥的地方，但实际上，“无限逼近”这些词语很生活化，并不严谨。数学家往往无法容忍用这种充满文艺气息的词汇去严格定义一个数学理论，更何况还是极限这种重要的数学概念，要知道极限可是微积分的基础，离开极限微积分将荡然无存。

自牛顿-莱布尼茨开创微积分学后，对极限、无穷概念的争议就层出不穷。因为牛顿-莱布尼茨也只是概念化地、笼统地阐述了下他们理解的无穷、极限等，甚至他们还有自相矛盾之处。牛顿-莱布尼茨时代的微积分是简陋而粗糙的。他们之后的一代又一代数学家对完善微积分学做出了不朽贡献，柯西就是其中一位闪耀的明星。

为了更“正宗地”表达无限逼近这一概念，【法】奥古斯丁·路易斯·柯西(Augustin Louis Cauchy,1789­1857)引入了两个第三方的极小量：$\varepsilon$ 和 $\delta$，并用这些数学工具完成了对极限的 $\varepsilon-\delta$ 定义。直到今天，我们仍然在采用柯西创立的这一标准去定义极限。

如何科学地表示“自变量 $x$ 无限逼近 $c$”？柯西引入了一个任意的（极小的）正数 $\delta$。

那么 $x$ 从左右两侧无限逼近 $c$ 点，就意味着存在一个正数 $\delta$，使得 $x$ 位于区间 $(c−\delta, \quad c)$ 或区间 $(c,\quad c+\delta)$ 中。我们可以用不等式 $0<|x-c|<\delta$ 更加简洁地表示出来。

不等式 $0<|x-c|$ 说明了 $x$ 永远不与 $c$ 重合，即 $x$ 与 $c$ 之间永远存在一定距离；而不等式 $|x-c|<\delta$ 说明了 $x$ 在向点 $c$ 处无限逼近，即 $x$ 与 $c$ 之间的距离可以足够小。这样自变量 $x$ 向 $c$ 处无限逼近但永不交汇的概念，就用一个不等式 $0<|x-c|<\delta$ 精确又简洁地表示了出来。

需要注意，虽然任何绝对值的范围都一定大于等于零，但在自变量上我们必不可能取到 $x=c$，即我们要排除绝对值等于 $0$ 的情况，所以不等式的前半部分 $0<|x-c|$ 必不可少。

同理，对 $f(x)$ 无限趋近于 $L$，柯西引入了另一个极小的正数 $\varepsilon$，那么 $f(x)$ 无限逼近值 $L$，就意味着存在一个正数 $\varepsilon$，使得 $f(x)$ 位于区间 $(L−\varepsilon, \quad L)$ 或区间 $(L,\quad L+\varepsilon)$ 中，我们也可以用不等式 $|f(x)-L|<\varepsilon$ 更加简洁地表示出来。注意，因变量 $f(x)$ 与自变量 $x$ 不同，因变量 $f(x)$ 完全可能取到与 $L$ 值相同的值（比如函数是一条水平线），所以我们没有必要排除绝对值等于 $0$ 的情况。