1.极限极其性质,  微积分(Calculus)

§3.函数的两种极限

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1.函数在某点处的极限

在初等数学中,我们学了那么多有趣的函数,是不是迫不及待地想要研究它们的极限了呢?让我们开始吧!

1.1.分段函数在某点的极限

对于以下分段函数$ f(x) $,它在$x$趋近于$0$时有没有极限呢?

分段函数在某点的极限

观察函数图像,当$ x $从左往右接近$ 0 $时,函数是一次函数,函数值逼近$ 0 $;当$ x $从右往左接近$ 0 $时,函数是分数指数幂函数(根式函数),它的值也逼近$ 0 $。那么我们可以说,这个分段函数在$x$趋近于$0$时有极限,极限值是$ 0 $。用数学表达出来即是:

\begin{equation*} \lim\limits_{x \to 0}{f(x)}=0 \end{equation*}

这里我们再次粗略引入了左右极限的含义,即函数从两侧分别逼近极限点,虽然两侧的函数表达式不同,但他们所逼近的值是相同的,所以该分段函数在$ x=0 $处仍有极限。对于单侧逼近的极限,后面会更加详细的引入,这里对它有些概念即可。

同样的,我们看看如下这个有趣的分段函数:

分段函数在某点的极限

它的方程式为:

\begin{equation*} f(x)=\left\{\begin{array}{l} \arcsin \frac{x}{2},(-22) \end{array}\right. \end{equation*}

1.2.抛物线函数在某点的极限

对抛物线函数$ y=\dfrac{1}{3}x^2 $而言,在它的顶点位置,有极限存在吗?

抛物线函数在某点的极限

可以看出,对形如$ y=ax^2+bx+c(a\neq0) $的抛物线函数而言,它在整个定义域内都是“连续”的,是没有如分段函数那样的“间断点”的,它不仅在$ x=0 $即顶点处有极限,甚至在所有定义域内,都有极限存在。且显然,函数逼近于某点的极限值,就恰好等于该点函数值。用数学表达出来即是:

\begin{equation*} \lim\limits_{x \to k}{ax^2+bx+c}=ak^2+bk+c\text{,\quad}(a\neq 0) \end{equation*}

“连续”是极限学习中的重要部分,后面会进一步阐述,这里只需要对函数在定义域上的连续性有一种概念上的认知即可。

1.3.周期函数在某点的极限

初等数学中有许多有趣的函数,比如正弦函数和余弦函数,它们是周期为$ \pi $的函数,这样的函数,在某一点处的极限情况又是怎样的呢?

周期函数在某点的极限

观察可知,正弦函数和余弦函数也都是“连续不断”的,同时也是周期性的,甚至还可以看出它们的函数值在$ -1 $到$ 1 $之间来回振荡。对在所有定义域内的$ x $的点,正弦函数、余弦函数都有对应的极限值。且显然,函数逼近于某点的极限值,就恰好等于该点的函数值。用数学表达出来即是:

\begin{equation*} \lim\limits_{x \to a}{\sin(x)}=\sin(a)\text{\qquad}\lim\limits_{x \to b}{\cos(x)}=\cos(b) \end{equation*}

“振荡函数”也是一种有趣的特殊函数,后面会有更多例子,这里只需要对正弦函数、余弦函数的“振荡性”有一定概念即可。

1.4.多项式函数在某点的极限

抛物线是二次函数,它在定义域内是连续的,每一处都存在极限,那么更加高次的函数呢?

高次函数在某点的极限

从图中我们可以看到,只要是形如$ f(x) = {a_1}x^n+{a_2}x^{n-1}+\dots+{a_{n-1}}x+{a_n}({a_1}\neq0) $的三次函数、四次函数乃至更加高次的多项式函数,都是连续不断的,它们在函数的每一点处都是有极限的,且显然,极限值就等于该点的函数值。用数学表达出来即是:

\begin{equation*} \lim\limits_{x \to k}{ f(x) = {a_1}x^n+{a_2}x^{n-1}+\dots+a_{n-1}x+{a_n}}= f(x) = {a_1}k^n+{a_2}k^{n-1}+\dots+a_{n-1}k+{a_n}\text{,\quad}({a_1}\neq 0) \end{equation*}

2.函数在无穷远处的极限

我们已经知道了$ f(x) $在$ x=a $处的极限含义,那么函数在无穷远处的极限有什么特性呢?

经过思考,我们发现,在无穷远处要有极限,需要$ x \to \infty $时,$ f(x) $要趋近于一个值$ L $,为了达成这样的效果,显然,在无穷远的地方,$ f(x) $必须有一条\textbf{水平渐进线}。所以$ \lim\limits_{x \to \infty}f(x)=L $即表明函数$ f(x) $在$ y=L $处有一条右侧水平渐近线,$ \lim\limits_{x \to -\infty}f(x)=M $即表明函数$ f(x) $在$ y=M $处有一条左侧水平渐近线。

下面我们将从一些常见的初等函数来分析函数在无穷远处的极限值。

2.1.反比例函数在无穷远处的极限

首先研究下反比例函数在无穷远处的极限情况。

反比例函数在无穷远处的极限

可见,形如$ f(x)=\dfrac{k}{x}(k\neq0) $的反比例函数,在当$ x\to\infty $和$ x\to -\infty $时,函数值无限接近于$ 0 $,即是说,$ x $轴为反比例函数的左右两侧水平渐近线,用数学表达出来即是:

\begin{equation*} \lim\limits_{x \to +\infty}\dfrac{k}{x}=0\text{\qquad}\lim\limits_{x \to -\infty}\dfrac{k}{x}=0\text{,\quad}(k\neq0) \end{equation*}

另外,我们发现,当$ x $从左往右无限逼近$ 0 $时,反比例函数的值是负无穷大;当$ x $从右往左无限逼近$ 0 $时,反比例函数的值是正无穷大。即在$ x=0 $处,反比例函数没有一个确切的极限值,那么我们可以认为函数在该点处没有极限。后面会更加详细的说明,这里对极限不存在的情况有个粗略的概念即可。

2.3.负幂指数函数的极限

其实,不仅是$ f(x)=\dfrac{k}{x}(k\neq0) $,推而广之,我们会发现对形如$ f(x)=\dfrac{k}{x^n}(k\neq0,n>0,n\text{为整数}) $的负幂指数函数,当$ x\to \infty $或$ x\to -\infty $时,函数值都趋近于$ 0 $。

负幂指数函数的极限

所不同的是,当$ n $为奇数时,$ f(x) $图像关于原点对称;当$ n $为偶数时,$ f(x) $图像关于$ y $轴对称。无论$ n $是奇是偶,函数在$ x=0 $处都没有极限存在。

2.4.反三角函数在无穷远处的极限

三角学中有一类奇葩的函数,叫反三角函数,我们来看看有关反三角函数在无穷大处的极限情况。

反三角函数在无穷远处的极限

观察可知,反正切函数$ f(x)=\arctan(x) $在$ x\to\infty $时的极限为$ \dfrac{\pi}{2} $,在$ x\to -\infty $时的极限为$ -\dfrac{\pi}{2} $。反余切函数$ f(x)=\mathrm{arccot}(x) $在$ x\to\infty $时的极限为$ 0 $,在$ x\to -\infty $时的极限为$ \pi $。数学表达为:

\begin{equation*} \lim\limits_{x \to \infty}\arctan(x)= \dfrac{\pi}{2} \text{\qquad}\lim\limits_{x \to -\infty}\arctan(x)= -\dfrac{\pi}{2} \end{equation*} \begin{equation*} \lim\limits_{x \to \infty}\mathrm{arccot}(x)= 0 \text{\qquad}\lim\limits_{x \to -\infty}\mathrm{arccot}(x)= \pi. \end{equation*}
反三角函数在无穷远处的极限

反正割函数$ f(x)=\mathrm{arcsec}(x)= \cos^{-1}(\dfrac{1}{x})$在$ x\to\infty $时的极限为$ \dfrac{\pi}{2} $,在$ x\to -\infty $时的极限也为$ \dfrac{\pi}{2} $。反余割函数$ f(x)=\mathrm{arccsc}(x)= \sin^{-1}(\dfrac{1}{x})$在$ x\to\infty $时的极限为$ 0 $,在$ x\to -\infty $时的极限也为$ 0 $。数学表达为:

\begin{equation*} \lim\limits_{x \to \infty}\mathrm{arcsec}(x)= \dfrac{\pi}{2} \text{\qquad}\lim\limits_{x \to -\infty}\mathrm{arcsec}(x)= \dfrac{\pi}{2}. \end{equation*} \begin{equation*} \lim\limits_{x \to \infty}\mathrm{arccsc}(x)= 0 \text{\qquad}\lim\limits_{x \to -\infty}\mathrm{arccsc}(x)= 0. \end{equation*}

2.5.双曲函数在无穷远处的极限

三角学中有一类奇葩的函数,叫双曲函数,我们来看看有关双曲函数在无穷大处的极限情况。

观察可知,双曲正切函数$ f(x)=\tanh(x)= \dfrac{e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}$在$ x\to\infty $时的极限为$ 1 $,在$ x\to -\infty $时的极限为$ -1 $。双曲余切函数$ f(x)=\coth(x)= \dfrac{e^{x}+e^{-x}}{e^{x}-e^{-x}} $在$ x\to\infty $时的极限为$ 1 $,在$ x\to -\infty $时的极限为$ -1 $。数学表达为:

\begin{equation*} \lim\limits_{x \to \infty}\tanh(x)= 1 \text{\qquad}\lim\limits_{x \to -\infty}\tanh(x)= -1. \end{equation*} \begin{equation*} \lim\limits_{x \to \infty}\coth(x)= 1 \text{\qquad}\lim\limits_{x \to \infty}\coth(x)= -1. \end{equation*}

双曲正割函数$ f(x)=\mathrm{sech}(x)= \dfrac{2}{e^{x}+e^{-x}}$在$ x\to\infty $时的极限为$ 0 $,在$ x\to -\infty $时的极限也为$ 0 $。双曲余割函数$ f(x)=\mathrm{csch}(x)= \dfrac{2}{e^{x}-e^{-x}} $在$ x\to\infty $时的极限为$ 0 $,在$ x\to -\infty $时的极限也为$ 0 $。数学表达为:

\begin{equation*} \lim\limits_{x \to \infty}\mathrm{sech}(x)= 0 \text{\qquad}\lim\limits_{x \to -\infty}\mathrm{sech}(x)=0. \end{equation*} \begin{equation*} \lim\limits_{x \to \infty}\mathrm{csch}(x)= 0 \text{\qquad}\lim\limits_{x \to \infty}\mathrm{csch}(x)=0. \end{equation*}

2.6.反双曲函数在无穷远处的极限

三角学中有一类奇葩的函数,叫反双曲函数,我们来看看有关反双曲函数在无穷大处的极限情况。

反双曲函数在无穷远处的极限

观察可知,反双曲余切函数$f(x)=\mathrm{arccoth} (x)= \dfrac{1}{2}\ln\dfrac{x+1}{x-1}$在$ x\to\infty $时的极限为$ 0 $,在$ x\to -\infty $时的极限也为$ 0 $。反双曲余割函数$f(x)=\mathrm{arccsch} (x)= \ln(\dfrac{1}{x}+\sqrt{\dfrac{1}{x^2}+1})$在$ x\to\infty $时的极限为$ 0 $,在$ x\to -\infty $时的极限也为$ 0 $。数学表达为:

\begin{equation*} \lim\limits_{x \to \infty}\mathrm{arccoth}(x)= 0 \text{\qquad}\lim\limits_{x \to -\infty}\mathrm{arccoth}(x)= 0. \end{equation*} \begin{equation*} \lim\limits_{x \to \infty}\mathrm{arccsch}(x)= 0 \text{\qquad}\lim\limits_{x \to \infty}\mathrm{arccsch}(x)= 0. \end{equation*}

2.7.带$ e $函数在无穷远处的极限

三角学中有一类奇葩的函数,叫带$ e $函数函数,我们来看看有关带$ e $函数在无穷大处的极限情况。

带$ e $函数在无穷远处的极限

观察可知,函数$f(x)=xe^x$在$ x\to-\infty $时的极限为$ 0 $;函数$f(x)=\dfrac{x}{e^x}$在$ x\to \infty $时的极限为$ 0 $.函数$f(x)=\dfrac{e^x}{x}$在$ x\to -\infty $时的极限为$ 0 $。数学表达为:

\begin{equation*} \lim\limits_{x \to -\infty}xe^x= 0 \text{\qquad}\lim\limits_{x \to \infty}\dfrac{x}{e^x}= 0\text{\qquad}\lim\limits_{x \to -\infty}\dfrac{e^x}{x}= 0 . \end{equation*}

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