首先来看看，困扰当时许多数学家的切线问题。

费马特、笛卡尔、惠更斯、巴罗等对切线问题提出了部分思路，但完成通用方法的总结，则要归功于牛顿和莱布尼茨。牛顿对这一问题的研究源于他对光折射的兴趣。

切线来源于拉丁词“tangens”，意思是“接触”，所以切线意味着“与曲线刚刚接触的线”，但后来数学家们发现，这个定义并不准确，而要精准定义切线可不容易，我们姑且通过一些函数图形来考虑切线的定义。

先画一条如上图的优美抛物线，我们发现切线和割线都必然与曲线“触碰”，但割线会与曲线交叉，而切线不会。你可能马上就能给出切线的标准定义：“该线与曲线刚刚触碰而不交叉”。但别急，再看下图：

这条线不仅与曲线“刚刚接触”，还相互交叉，但它仍是曲线的切线。我们发现，以上这两种情况，切线与曲线都只有一个交点，那不妨再加点条件，把第二种情况包含进去，将定义改成：“该线与曲线刚刚接触，并交于一点。”似乎已经完美地修补好了这一漏洞，但别急，再看下图：

我们发现，它与曲线接触，却有$P$、$Q$两个交点，但它仍是曲线的一条切线。那我们要继续修补这一“标准定义”吗？要将交点扩大到三个、四个、五个吗？你会发现，无论怎样用传统数学的方法去定义切线，都是有漏洞的。

古典数学的方法貌似行不通了，那我们换个角度来思考。我们知道，要找抛物线$f(x)$在点$P$处的切线，只需找到该切线的斜率$k$，再由“点斜式”即可得到切线方程。那么，问题就简化为，如何找到斜率$k$值呢？简单，若知道坐标轴上不同的两点$ P(x_1,y_1) $和$ Q(x_2,y_2) $，就可用以下公式求得经过$P$、$Q$这两点的直线斜率：

答案似乎呼之欲出了，因为在$P$点处的切线必过$P$点，现在$ P $点坐标就是一定的了，如今就还差一个$Q$点。我们虽无法直接求切线斜率，但退而求其次，可先求得经过曲线上不同两点的割线斜率。

我们取曲线上除$P$外任一点$Q_1$，连接$ PQ_1 $作出一条$ f(x) $的割线，然后令点$ Q_1 $慢慢地、无限地趋近于点$ P $，但永不重合(极限思想)。当点$ Q $离点$ P $距离足够小时，我们可近似认为，此时连接$ PQ $的那条直线，就是抛物线$f(x)$在点$P$处的切线。

借助于笛卡尔的平面坐标系，我们可以完成函数的细致分析了：假设在抛物线上的$ P $点的坐标为$ (x,f(x)) $，同时，设点$ Q $的横坐标距离点$ P $的横坐标的距离为变量$ \Delta x $，那么$ Q $的坐标就可以表示成$ (x+\Delta x,f(x+\Delta x)) $，如图所示。

有了两点坐标，我们就可以得到连接该抛物线上任意两点间的割线方程的斜率$k_{sec}$：

我们已经想到，当$ \Delta x $无限逼近于$ 0 $，即点$ P $、$ Q $离得要多小就有多小时，割线$ PQ $就可以看作是$ f(x) $在点$ P $处的切线。

因为这里要用到“无限接近”、“无限趋近”的概念，为便于表达，数学家们引进了一个英文“limit”的缩写符号——$ \lim $来表示极限，又用箭头“$\to$”来表示趋近、逼近、接近的意思。通过这些专有符号，我们就可以把函数$ f(x) $在$ x=a $处的极限很简洁地写作：

其中，$f(x)$是函数，$x \to a$表示函数在定义域上的取值$x$无限逼近于横坐标上的$(a,0)$点，此时，$L$表示函数值$f(x)$(或$y$)无限逼近于纵坐标上的点($0,L$)。

注意：这里是等于而不是约等于，极限表示当$ x $无限逼近$ a $时，$ f(x) $无限趋近的那个值，那个趋近的值是确定的，所以用等于号。

回到主题，我们就是要求当点$P$无限逼近点$Q$，即$ \Delta x $无限接近$0$时，经过$PQ$的直线斜率$k_{tan}$等于多少。用数学符号表示即是：

当计算出切线斜率$k_{tan}$，再带入$ P $点坐标，用“点斜式”即可得到函数$ f(x) $在$ P $点的切线方程了。

极限的详细概念主要是由【法】奥古斯丁·路易斯·柯西(Cauchy，Augustin Louis 1789-1857)完成的，因为牛顿莱布尼兹时代，虽然能正确运用微积分，但对一些基本概念仍模糊不清，直到柯西完成$ \varepsilon-\delta $极限定义等工作，人们对微积分的理解才更加深刻。而极限，也成为了学习微积分的基础。

为什么切线这个东西如此重要，数学家像要彻底搞明白呢？因为找到过该点的切线，就等于找到了该点的斜率。初中数学里我们会形象地称呼它为“倾斜度”，而这个倾斜程度，直观地反映出了函数在某一点的变化率。我们后面会有更加深刻的理解，微积分其实就是研究变化的数学工具。

根据《无障碍设计ADA标准(ADA Standards for Accessible Design)》，轮椅斜坡的最大推荐坡度是$\dfrac{1}{12}$(约为$0.083$)。比如上面这张图的坡度，当水平距离达到$24$英尺(ft)时，斜坡在垂直方向上升了$22$英寸(in)，那么这个坡道符合标准吗？根据换算可知，24英尺等于288英寸，我们可以很容易地求出斜坡的坡度为$\dfrac{22\mathrm{in}}{288\mathrm{in}}\approx0.076 < 0.083$。所以，这个设计是符合标准的。轮椅斜坡的坡度，就反映了这段路程的平均变化率。而微积分中，更多地是寻找在某一点处的瞬间变化率，而只要找到了某一点的切线，就等于找到了该点处的瞬间变化率。

传统的古典数学也能研究变化，但是他们有很强的局限性，比如我们只能研究平均速率，而不能研究瞬时速率，我们很容易求出割线斜率，但却无法求切线斜率，当然还有面积问题……这些问题具有一些共同的特征，它们是动态的，是变化的，是复杂的，微积分在这些数学困境的求索中应运而生。

也许你会觉得，无限逼近这种东西，仍没有正面解决瞬间、连续、无穷等概念性问题。是的，从“穷竭”到“极限”，几千年来人们对这一理论都在不懈探索，但数学家们巧妙地绕过了理论的核心，他们没有直接解决什么是无限，怎么去求无限的问题，而是用了另一个“极限思想”来避开这个几千年悬而未决的“无穷”、“无限”。究竟什么是“无限”，他们不回答、不做解释，他们也解释不了，但用极限能很好地解释数学中的微积分思想，这就够了。

极限就是在“无穷逼近”、“距离无限小”。我无法解释无穷小是多小，但当你说出一个很小的数时，我还能说出更小。数学家们是在把“绝对”的概念，转化为“相对”的概念，颇有以子之矛，攻子之盾的意趣。有些时候，世界的某些概念是不能“绝对”地解释清楚的，只能“相对”地说明，当我们越想清晰定义时，往往越会误入歧途。

目前探索的现实世界最小也不过原子、原子核、夸克等层面，你可以认为，把$P$点在原子层面逼近$Q$点时，是没有误差的，或者逼近到量子领域，即普朗克常数的层面，$PQ$当做切线是没有误差的。总之，目前的科学观点，现实世界不存在真的无穷、无限，宇宙也非连续的，而是间断的。

与切线同等经典的，还有面积问题，主要为探索曲线与坐标轴所围成的图形面积，如下图所示。

我们会发现这个图形围成的面积是极不规则的，不能用初等数学中的面积方法来求解，那么该如何做呢？数学家们从穷竭法的思想中联想到，虽然不能一步到位求得整体的面积，但如果我们把这一面积划分成很多个小区块，并且令每个小区块的图形都为规则长方形，而长方形的面积用长乘宽就可以得到。那么将所有的长方形面积加起来，不就是近似等于这个区域围成的面积了吗？

也许你会说这样计算出来的面积误差很大，但是如果我们让矩形变得无限多(极限思想)，每个矩形窄得如同一条线段，那么误差就会变得无限小，甚至可以认为没有误差，进而我们就会认为所有这些无穷多个的矩形面积加起来，就刚刚是这块不规则区域围成的面积。用数学表达即是：

面积问题和切线问题都用到了极限的思想，后面我们还会了解到面积问题和切线问题是互逆的。如果说切线问题奠基了微分学，那么面积问题就奠基了积分学。

但在当时，几乎没有数学家发现切线问题和面积问题根本上是互逆的。艾萨克·巴罗是第1个看到这层关系的人，巴罗是牛顿的老师，也是第一任卢卡斯教授，他独具慧眼，发现了牛顿在科学上的天赋，进而把卢卡斯教授的位置让给了牛顿。巴罗所做的工作对牛顿乃至莱布尼茨的微积分成型都有着重要影响。

他在《几何讲义》一书中给出了面积和切线的互逆关系。

其大意是，在坐标轴$XOY$中有增函数$f(x)$，其曲线如$BE$，$ED$垂直于$x$轴于$D(x,0)$，曲边梯形$OBED$围成的面积为$S$，则$S$是一个以$x$为自变量的函数。

为方便对照，在反方向建立$XOZ$坐标轴，作出函数$S(x)$的曲线$CF$，$F(x,S(x))$是$ED$延长线与曲线的交点。在$x$轴上取一点$T$，令$DT=\dfrac{DF}{DE}$，则$TF$就是曲线$S(x)$在点$F$处的切线。

巴罗的这一发现本应具有重大意义，该结果被认为是微积分基本定理的最早形式。但这种为纯几何语言描述，理解困难，故而在当时影响不大，加上巴罗对这一结论背后的巨大价值认识不足，导致他与微积分失之交臂。

初等数学中，我们知道要求物体的平均速度，需要用距离除以时间：

但现实生活中，一个物体的速度是在时刻变化着的，比如通过汽车速度计我们就能随时了解汽车的当前速度。然而自古希腊芝诺发出“飞矢不动”的悖论后，瞬时速度的定义就一直是人们挥之不去的阴影：如何在“瞬时”这样静止的条件下，定义出“速度”这一变化的概念？

伽利略发现，一个物体从高处自由落体，它会做匀加速直线运动。这种“变速运动”的发现，不仅突破了亚里士多德“匀速下坠”的世界观，更让瞬时速度的求解成为重要的物理需求：对这样的运动，不能简单地用距离除以时间了，我们不能再回避“瞬时速度”这个让人头大的问题了。

在伽利略的帮助下，我们知道了匀加速运动的距离公式：$ s=at^2(a>0) $。现在思考，假如物体做满足$ s=5t^2 $的匀加速运动，要求在$ t=5 $秒处的瞬时速度，该如何做呢？

因为我们无法求瞬时速度，那就退而求其次，求出物体移动一小段间隔$ \Delta t $的平均速度。

假如我们取$ 5 $到$ 5.1 $秒的时间间隔，很容易求出这段时间的平均速度：

如果嫌这个时间间隔$ \Delta t $太长，不足以说明“瞬时”，那我们再将$ \Delta t $取短，假如我们取$ 5 $到$ 5.01 $秒的时间间隔，很容易求出这段时间的平均速度：

如果还不够精确，我们还可以继续缩短时间间隔，最后我们发现，当时间间隔足够小时，该物体在$ 5 $秒处的平均速度趋近于$ 50\mathrm{m/s} $，所以我们可以就认定：该物体在$ 5 $秒处的瞬时速度就是$ 50\mathrm{m/s} $。

借助于分析学的发展，我们可以把$ s=at^2(a>0) $这样的二次函数在笛卡尔直角坐标系中表现出来：

我们会很惊讶地发现，求物体某点处的瞬时速度，就是在求其函数图像在某点的变化率，也就是回到了“切线问题”。于是，我们可以用极限来完成瞬时速度的表达：

最值问题涉及到极限的计算，我们会在后面详细讨论。

经过前面三四个基础问题的研究，我们可以极限的直观定义：

或者写作：

我们还发现，$x$可以从$a$点的左边或右边来靠近$a$，但我们规定：$x$需要在从左往右，和从右往左两个方向趋近$a$时，都有$f(x)$的值无限逼近$L$，这时才叫函数$f(x)$在$x$趋近于$a$时的极限为$L$。如果只是单侧逼近时满足，我们不认为$L$是$f(x)$的极限，这会在后面单侧极限及连续性的章节中更加深入地讨论，目前对其有个概念性认知即可。

同时，我们还应该看到，$f(x)$的极限值的定义，是忽略了$x$在$a$处的情况。即$\lim\limits_{x \rightarrow a} f(x)$的值取决于$f(x)$在$a$附近的值，但并不取决于刚刚在$a$点处的值。实际上$f(x)$在$a$有没有值，甚至有没有定义，都跟$f(x)$在$x$趋近于$a$时的极限没有任何关系。