数学的发展有着悠久的历史，微积分思想则贯穿其中。

古埃及(ancient Egypt)、古巴比伦(ancient Babylon)大约是人类最早形成数学知识的地区，这里的人们知道简单计数法(counting)、简单方程(equation)解法以及简单几何知识。其后，古印度(ancient India)、古中国(ancient China)等都发展出了自己的基础数学体系。然而，对整个人类文明影响最大，数学成就最高的当属古希腊(ancient Greece)文明。古希腊临海的地理口岸、民主的政治体制、开放的言论风气等因素，孕育出伟大而自由的思想，哲学(philosophy)兴起，数学及物理学、天文学(astronomy)等科学也随之蓬勃发展。

哲学第一人——古希腊的泰勒斯(Thales, 约B.C.624-B.C.546)开创了米利都学派(Melisian School)的辉煌，他的哲学观是“万物由水构成”，并以海水簸动来解释地震，这种朴素的自然主义思想的提出，弱化了以宙斯(Zeus)、海神波塞冬(Poseidon)为代表的宗教世界观。后来他不仅准确预测了日食(solar eclipse)，而且将日食的解释脱离出神学的范畴，又用相似三角形(similar triangles)法测出金字塔(pyramid)高度。

泰勒斯对几何学、天文学的贡献是十分重要的。他重视理论，兼顾应用，极善思考，这为之后希腊学者的研究方式做了极好的示范。他发现等腰三角形底角相等、对顶角相等、圆被直径平分等基础几何概念，并引入命题证明的思想，提出泰勒斯定理(Thales’ theorem)，成为古希腊科学先驱。泰勒斯的弟子阿拉克西曼德(Anaximander, 约B.C.610-B.C.546)在老师的哲学工作上，发展出“万物起源于阿派朗(Apeiron)”的世界观，阿拉克西曼德定义的阿派朗是一种“无限的”、“无定义的”、“原始的”概念性物体，阿拉克西曼德是全能之才，他很可能发明了日晷，也许还是绘制世界地图的第一人。泰勒斯的另一个弟子阿拉克西美尼(Anaximenes, 约B.C.586-B.C.526)则认为“万物起源于气”，这个“气”后来发展为科学界大名鼎鼎的“以太”。同时，阿拉克西美尼通过对“气”的研究，提出了膨胀与收缩等概念。可以看到，米利都学派的三位贤哲，都对“万物本源（Archai）”这一深奥的问题有着近乎痴迷的兴趣，且他们基本认为万物本源理应是永恒、无限的。

泰勒斯之后，一位天赋非凡的青年毕达哥拉斯(Pythagoras, 约B.C.580-B.C.500)走出他的故乡萨摩斯岛(Samos)，开始游历诸国，并最终形成了“万物皆数(all is number)”的哲学理念，开创毕达哥拉斯学派。人们叫毕达哥拉斯“智者”，但他谢绝了这一称号，他说：“我并不是智者，我只是哲学家(爱智慧的人)”，从此，哲学一词便盛行开来。

毕达哥拉斯对“数”十分痴迷，他研究越深，越觉得世间万物无不体现出“数”的特性。哲学的探索，造就了他在数学上的非凡造诣。代数(algebra)上，他发现奇数(odd)、偶数(even)、素数(prime)、合数(composite)、完美数(perfect)、亲和数(amicable)、平方数(square)等。几何上，他发现三角形内角和是$ 180^\circ$(Triangle Sum Theorem)，并用归谬法(reduction to absurdity)证明了只存在五种正多面体(Platonic solids)，即正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体和正二十面体。

毕达哥拉斯在数学上的贡献，还在于他开拓、发展了“数形结合”的研究方式，一般认为，毕达哥拉斯学派对黄金分割(golden section)已经有了初步认知。他最著名的成就，是用演绎法(deductive reasoning)证明了毕达哥拉斯定理(Pythagoras theorem, 中国叫勾股定理)；天文学方面，他驳斥天圆地方，甚至可称其为质疑地心说(geocentric theory)的第一人。

毕达哥拉斯是人类自然科学发展的第一个高峰，当然，他对发现$ \sqrt{2} $的弟子希帕索斯(Hippasus, 约B.C.6th)的一系列行为是很卑劣的。

其后，色诺芬尼(Xenophanes, 约B.C.570-B.C.470)、巴门尼德(Parmenides, 约B.C.515-B.C.440)及其学生芝诺(Zeno, 约B.C.490-B.C.430)、梅利苏斯(Melissus, 约B.C.5th)所建立的埃利亚学派(Eleatic School)影响较大。其中以芝诺的二分法(dichotomy paradox)、阿克琉斯追龟(Achilles and the tortoise)、飞矢不动(arrow paradox)等悖论最为著名，说明古希腊哲学家已经对瞬间(instantaneous)、连续(continuous)、无限(infinite)、形而上(metaphysical)等概念有了一定的探索。

这一时期，爱菲斯学派的赫拉克利特(Herakleitos, 约B.C.535-B.C.475)及其弟子克拉底鲁(Kratylos, 约B.C.5th)坚持“万物流变(all things change)”思想，即万事万物都处于不断的变化之中。我们耳熟能详的名言“人不能两次踏入同一条河流”正是出自赫拉克利特之口。米利都学派的三位学者分别认为世界的本源是水或气或阿派朗，而赫拉克利特则认为火才是万物的本源，万物生自火，又复归于火。赫拉克利特奠基了“对立统一(unity of opposites)”的辩证法(dialectics)，并进一步将对立统一与和谐的规律归结为逻各斯(logos)，这个逻各斯就如同中国古文化中的“道”，他认为“逻各斯”永恒存在，万物都遵循“逻各斯”而变化。

开创“原子论(atomism)”的勒基普斯或译为留基伯(Leucippus, 约B.C.4th)与德谟克利特(Demokritos, 约B.C.460-B.C.370)对原子、分割、极限等科学思想有启迪式贡献。有学者认为德谟克利特甚至可以与柏拉图媲美，他是唯物主义哲学家，他提出了万物的本源是原子与虚空，而原子是一种最后的不可分的物质微粒，他的部分构想甚至已经有了多元宇宙的雏形。

与某些学者认为的万物本源是水或气或火等“一元论”观念不同，多元论派的哲学家们认为宇宙本源是多元的，其中，恩培多克勒(Empedocles, 约B.C.493-B.C.432)以永恒的“四根”即水、火、土、气的结合与分离来阐释万物的产生和消灭；阿那克萨戈拉(Anaxagore, 约B.C.500-B.C.428)用无限多异质的“种子”来解释万物的差异。

稍晚一些，普罗泰戈拉(Protagoras, 约B.C.480-410)、高尔吉亚(Gorgias, 约B.C.483-B.C.375)、希庇阿斯(Hippias of Elis, 约B.C.5th)、布里松(Bryson of Heraclea, 约B.C.5th)、安提丰(Antiphon, B.C.426-373)形成了智者学派(the Sophists)，他们在数学上主要研究三大几何难题：三等分角(trisection of an angle)、立方倍积(cubic equation)、化圆为方(squaring the circle)。希庇阿斯为解决化圆为方发明割圆曲线(quadratrix)，而安提丰提出的“穷竭法(method of exhaustion)”，可视为极限理论的鼻祖。

前苏格拉底时代的不同流派的古希腊哲学与科学家从不同角度去思考、解释、阐述世界的本源、宇宙的生成、万物的演化、时间与空间等内容。也许他们并未触摸到微积分核心理念，有的甚至流于形而上学，但是他们的思辨促进了后世学者对物理和数学的探索，加深了后人对无限和变化的理解，他们都可以视为微积分的先驱。

随后，被称为“希腊三杰”的苏格拉底(Socrates, B.C.470-B.C.399)、柏拉图(Plato, B.C.427-347)和亚里士多德(Aristotle, B.C.384-B.C.322)影响巨大。柏拉图在哲学领域独树一帜，他虽未提出完善的数学理论，却也始终认为数与形是解密宇宙的关键。柏拉图对数学尤其是几何学非常重视，他所创立的柏拉图学园对数学发展起了重要推动作用。而柏拉图的弟子亚里士多德则在哲学、宇宙学(cosmology)、动力学(dynamics)、光学(photology)等领域都颇有建树，其权威性影响了整个中世纪(middle Ages)乃至文艺复兴(Renaissance)时期。亚里士多德重视逻辑学(logic)，致力于联系数学与物理，而较少涉及纯数理论。

这一时期，欧多克索斯(Eudoxus of Cnidus, B.C.410-B.C.355)发明新的比例论(proportions)来解决不可公度难题(non-commensurability)，又让穷竭法更为严谨，许多人认为欧多克索斯是古希腊中仅次于阿基米德的伟大数学家，因为欧几里得第五卷的内容，多半是出自于他。

同时，希波克拉底(Hippocrates of Chios ,B.C.470-B.C.410)也促进了化圆为方的研究。希波克拉底也许是古希腊第一个系统编写几何学教科书的人，该书直译为《元素(Elements)》，希波克拉底之后的一个世纪，至少有四位其他数学家写了他们自己的《元素》，其中就包括欧几里得的版本，可见其影响之大。希腊三杰时代标志着人类自然科学发展的第二个高峰。

亚历山大时期，古希腊集大成式数学家欧几里得(Euclid,B.C.330-B.C.272)在完成巨著《几何原本(Στοιχεῖον Stoikheîon)》的同时，完成数学公理化(axiomatization)的探索及几何演绎，为数学发展指明道路。《几何原本》共13卷，虽然其中的许多内容是来自希腊早期的数学家，但欧几里得的贡献是将这些资料整理成有逻辑架构的作品，书中有严谨的数学证明系统，是后来2300年数学的基础。这本书是如此的影响深远，迄今它依旧被认为是几何学的经典入门书籍。

而后，天才式科学家阿基米德(Archimedes,B.C.287-B.C.212)横空出世，物理上，他发现浮力原理(Archimedes’ principle)、杠杆原理(lever Principle)，被称为“力学之父”；数学上，他与牛顿、高斯并列为世界三大数学家，他用“逼近法(approximation)”来计算球表面积(sphere surface area)、球体积(sphere volume)、抛物线(parabola)及椭圆面积(ellipse area)，又提出无穷大的概念。

阿基米德的著作并没有像欧几里得的著作那样保存下来，他的七篇论文仅通过其他作者的引用而留存于世。但从这些为数不多的言语中，我们已经能够窥视出阿基米德在数学、物理学上的卓越成就。其中《论球与圆柱(On the Sphere and Cylinder)》得出圆柱和球之间面积、体积关系，是十分惊艳的。阿基米德是微积分思想的真正开拓者和首位应用者，阿基米德和欧几里得时代标志着人类自然科学发展的第三个高峰。

后亚历山大时期，埃拉托色尼(Eratosthenes,B.C.275-B.C.193)以“地理学之父”闻名，但他创立的素数筛选法(sieve of Eratosthenes)影响深远。阿波罗尼奥斯(Apollonius of Perga,B.C.262-B.C.190)的经典巨著《圆锥曲线论(Conics)》代表了希腊几何的最高水平。喜帕恰斯(Hipparchus,B.C.190-B.C.125)创立三角学(trigonometry)、球面三角学(sopherics)，提出托勒密定理(Ptolemy’s theorem)。这三位为古希腊科学绽放出最后的余晖。

古希腊先贤对科学的发展做出了巨大贡献。同时，我们也当看到，数学的发展离不开哲学的兴盛，离不开对物理的研究，离不开对天文学的探索。

第三次科学高峰之后，由于战争、神学、宗教等原因，导致科学发展极其缓慢，从古罗马帝国到中世纪一直到15世纪的一两千年时间里，万马齐喑，一片昏暗。不仅是科学，包括艺术、文学等，都乏善可陈，偶有零星的贤者出现，光芒点缀夜空。

海伦(Heron,约10-70)，对几何面积、体积问题颇有造诣，提出海伦公式(Heron’s formula)。

托勒密(Ptolemy,约90—168)，以地心说闻名，他对数学、地理(geography)、占星(astrology)都有研究。丢番图(Diophantus,约246—330)，代数学的创始人之一，他脱离几何而研究代数，提出丢番图猜想。帕普斯(Pappus,3-4th)著成《数学汇编(Collection)》，提出帕普斯定理(Pappus’s theorem)。

丢番图后的一千年，几无杰出的数学家。到13世纪，【意】斐波那契(Fibonacci,1175-1250)出现，他精通代数计算，以研究斐波那契数列闻名。斐波那契数列为线性递推数列：$ 0 $,$ 1 $,$ 1 $,$ 2 $,$ 3 $,$ 5 $,$ 8 $,$ 13 $,$ 21 $,$ 34 $,$ 55 $,$ 89 $,$ 144 $……其数学定义为： \begin{equation*} a_{n}=\left\{\begin{array}{ll} 0 & (n=0) \\ 1 & (n=1) \\ a_{n-1}+a_{n-2} & (n>1) \end{array}\right. \end{equation*} 其通项公式为：\begin{equation*} a_n = \dfrac{1}{\sqrt{5}}\left[ \left( \dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\right) ^n – \left( \dfrac{1-\sqrt{5}}{2}\right) ^n\right] \end{equation*}

之后【法】尼科尔·奥雷斯姆(Nicole Oresme,约1320 -1382)在它的《构造论(Tractatus)》中提出了类似平面直角坐标系的思想。到14世纪，【意】卢卡·帕乔利(Luca Pacioli,1446-1517)总结性地论述了复式簿记，因此他被誉为“现代会计之父”。雷格蒙塔努斯(Regiomontanus Johannes,1436-1476)在1464年完成欧洲第一部独立于天文学的三角学著作——《全三角论(De triangulis omnimodis)》。

这绵延一两千年的黑暗时期，不光欧洲，整个世界历史都泛善可陈。人民或遭受封建统治的禁锢，或沦为宗教神学的奴仆，或囿于先圣先贤的权威，人性扭曲，思想困滞，古风不存，这是颇为遗憾的。

中世纪政教合一的黑暗之后，黎明将显，继古希腊后的人类第二个伟大的时代即将到来，以【意】但丁·阿利吉耶里(Dante Alighieri,1265-1321)为代表的欧洲“文坛三杰”拉开了文艺复兴序幕。随后，【意】莱昂纳多·达·芬奇(Leonardo da Vinci,1452-1519)、【意】米开朗基罗·博那罗蒂(Michelangelo Buonarroti,1475-1564)【意】拉斐尔·桑西(Raffaello Santi,1483-1520)、【英】威廉·莎士比亚(William Shakespeare,1564-1616)等多位艺术巨匠相继涌现，灿如繁星。

这一期间，地理大航海、资本主义萌芽、宗教革命、民族国家等大事件不断，其中【意】克里斯托弗·哥伦布(Cristoforo Colombo,1452-1506)发现新大陆，【葡】斐迪南·麦哲伦(Ferdinand Magellan,1480-1521)环球航行证实地圆说等都有重大影响。而文艺复兴后期，就进入到了第一次科学革命(the first scientific revolution)时代，即16-17世纪，这段时间，西方在数学、物理学、天文学、生物学、医学(medicine)以及化学(chemistry)等领域都取得了划时代的突破，中世纪的桎梏被彻底击碎，自此以后，西方发展一骑绝尘。

古希腊的托勒密集前人精华著成《天文学大成(Almagestum)》，完成托勒密地心学说，认为日月五星在绕地球的偏心圆(eccentric circle)轨道上运行，该学说被教会定为不刊之论，直到【波兰】尼古拉·哥白尼(Nicolaus Copernicus,1473—1543)在临终前发表出那本惊世骇俗的《天体运行论(De revolutionibus orbium coelestium)》。该书坚持“地动说”、“太阳中心说”，提出“自转说”，甚至隐含了惯性理论。

哥白尼之后【意】丹诺·布鲁诺(Giordano Bruno,1548—1600)为捍卫日心说而被教会烧死，教会这一举动反而让日心说在欧洲广泛传播开来，布鲁诺虽不是天文学家，却提出了宇宙无限论。同时【丹麦】第谷·布拉赫(Tycho Brahe,1546-1601)提出介于日心说与地心说的宇宙观，并对恒星位置做了精确测量。

布拉赫的助手【德】约翰尼斯·开普勒(Johannes Kepler,1571-1630)通过研究这些资料，在1609年出版的《新天文学(Astronomia nova)》一书中提出开普勒第一定律(椭圆定律)：所有行星绕太阳的轨道都是椭圆，太阳在椭圆的一个焦点上。及开普勒第二定律(面积定律)：行星和太阳的连线在相等的时间间隔内扫过的面积相等。

随后1619年，他在《宇宙谐和论(Harmonices Mundi)》中提出开普勒第三定律(调和定律)：所有行星绕太阳一周的恒星时间($ T_i $)的平方与它们轨道半长轴($ a_i $)的立方成比例，即$ \dfrac{{T_1}^2}{{T_2}^2} = \dfrac{{a_1}^3}{{a_2}^3}$。开普勒为牛顿三定律和万有引力定律的提出做了重要铺垫工作。

生物学上，【西班牙】塞尔维特(Michael Servetus,1511-1553)研究古罗马的劳迪亚斯·盖伦(Claudius Galenus,129～199)学说后发现肺循环，但他遭受了比布鲁诺更加残酷的火刑。【比】安德烈亚斯·维萨留斯(Andreas Vesalius,1514—1564)著成《人体构造(Human Anatomy)》，成为与哥白尼齐名的近代科学开创者。

物理学上，亚里士多德“物体需要力才能被推动”、“物体会匀速下落”等观点，千年来被视为颠扑不破的真理。而被誉为“现代物理学之父”的【意】伽利略·伽利雷(Galileo Galilei,1564-1642)通过观测肯定了日心说，又通过自由落体实验否定了亚里士多德，后提出加速度、惯性系、相对性原理等概念，非正式地提出了惯性定律。他在实验与观测上的贡献尤为巨大，虽然理论贡献不多，却是牛顿力学的先导。

数学上，当时“会计学之父”卢卡·帕西奥利认为解一元三次方程(cubic equation)或许是不可能的，但随即【意】希皮奥内·德尔·费罗(Scipione del Ferro,1465-1526)与【意】尼科洛·塔尔塔利亚(Niccolò Tartaglia,1500-1557)就分别独立发现了一元三次方程的解法。塔尔塔利亚还在他的著作《新科学(New Science)》中开创了现代弹道学。【意】吉罗拉莫·卡尔达诺(Girolamo Cardano,1501-1576)和弟子【意】洛多维科·费拉里(Lodovico Ferrari,1522-1565)首先将一元三次方程和一元四次方程(quartic equation)的一般解法发表出来。

同一时期，【英】约翰·纳皮尔(John Napier,1550-1617)发明对数(logarithm)，【法】马林·梅森(Marin Mersenne,1588-1648)研究了梅森数，【法】吉拉德·笛沙格(Girard Desargues,1591-1661)则成为影射几何(projective geometry)的创始人，【法】布莱士·帕斯卡(Blaise Pascal,1623-1662)提出帕斯卡定理(Pascal’s theorem)并对概率论(probability theory)有卓越贡献，【法】亚伯拉罕·棣·莫弗(Abraham de Moivre,1667-1754)同样在概率论上成就非凡……

而微积分在这一时期也迎来真正的春天，【意】卡瓦列里(Cavalieri,1598-1647)建立了不可分原理，并求得相当于曲线$ y=x^n $下的面积，为积分学做了重要铺垫。【法】勒内·笛卡尔(René Descartes,1596-1650)建立平面直角坐标系。【法】皮埃尔·德·费马(Pierre de Fermat,1601-1665)独立于笛卡儿发现了解析几何的基本原理，又建立了求切线、求极大值和极小值以及定积分方法，对微积分做出了重大贡献。【荷】克里斯蒂安·惠更斯(Constantijn Huygens,1596-1687)对二次曲线、复杂曲线、悬链线、曳物线、对数螺线等平面曲线都有所研究。【英】艾萨克·巴罗(Isaac Barrow,16301677)对极限的重要问题——切线问题做了部分工作。【荷】亨德里克·范·赫拉埃特(Hendrik van Heuraet,约1633-1660)对积分学做了早期工作。然后牛顿、莱布尼茨分别独立发明微积分。同时，【英】约翰·沃利斯(John Wallis,1616-1703)在三角学，微积分，几何学和无限级数分析方面做出了重要贡献。

笛卡尔的一个伟大贡献，便是建立笛卡尔直角坐标平面(Descartes’s coordinate plane)并发展出数学分析学，这导致了研究数学的方式发生了革命性变化。

数学分析的出现，将代数与几何两大领域完美衔接，即几何图形可通过画到坐标轴上来分析，代数方程又可通过解析而化为几何直观表达。

之前的几何，多将直线、弧线、三角、矩形、多边形、圆、椭圆、圆锥、圆柱、棱锥、棱柱、多面体等作为纯图形研究，而当引入坐标系后，就能将几何解析成方程，比如我们可以得到圆的标准方程。

随着分析学的发展，越来越多的数学问题被深入研究，比如常见的速度和加速度问题(velocitie and acceleration)、斜率和切线问题(slope and tangent line)、周长和面积问题(perimeter and area)、弧度和曲率问题(arc length and curvature)等，以及物理中的质心(centroids)、体积(volume)、容积(cubage)等问题，乃至在此基础上发展起来的数理科学、工程技术、经济模型等现实问题。

然而，初等数学仅能解决其中一小部分，即简单的、线性的、静态的、特殊的问题，对复杂的、曲线的、动态的、普适的问题则无能为力。

数学家们发现，初等数学能计算匀速运动(constant velocity motion)，却难以处理变速运动(variable velocity motion)；能分析规则图形(regular geometry)，却无法求不规则几何面积(irregular geometry)；能计算割线(secant line)，却不能计算切线(tangent line)；能求曲线在某点的高度(height value)，却无法求曲线在某一段的最值(maximum/minimum value)……世界迫切需要一个更加高级的工具来完善数学大厦。

在这样的大环境下，微积分诞生了。其实在古代，无论是古希腊还是古中国学者，都对无限趋于、无限分割、无限靠近……等“极致思想”有过探讨，但是微积分的内容被真正详细研究，还是在16-17世纪。

牛顿莱布尼兹时代的微积分学的理论架构并不完善，后经一系列数学家的共同努力，才有了如今缜密的微积分学。其中，极限这个重要的概念，被敲定为微积分的前置基础，还要得力于后来的法国数学家柯西的一系列工作。我们须要知道，极限是连接初等数学和微积分的桥梁，只有将极限工具掌握好，才能对后面的导数、微分、积分等内容有深刻的理解。