前面几节我们已经见识了许许多多的极限形式，但对于函数在某一点处确切的极限值是多少，我们尚未研究过。这一节，我们就尝试着来解决这个问题。

首先我们发现，对绝大多数的函数，我们都可以绘制出它的图像。既然图像都知道了，那么函数在某点处的极限不是很容易就能看出来吗？因为函数图像也是我们先用描点法画出点，再将点一个一个连起来的呀。那么我们就以下面这个函数为例来试一试：

\begin{equation*} f(x)=\frac{x^{3}-1}{x-1} \end{equation*}

对这个函数，如果我们要求其在 $x=1$ 处的函数极限（即求 $\lim\limits_{x \rightarrow 1} \dfrac{x^{3}-1}{x-1}$），该如何做呢？首先，我们用初等数学的描点法，或者使用数学软件，很容易画出该函数的函数图像如下所示：

需要注意的是，该函数定义域不能取到 $x=1$，但是无妨，我们根据极限的概念知道，函数在某点处的极限并不取决于该点处的函数值是多少、也不取决于该点处有没有定义，而是取决于定义域 $x$ 逼近于该点时值域 $y$ 趋近于哪个值。所以，我们何不多计算一些在 $x=1$ 附近处的函数点，列成表格，来观察该点处值域的趋势呢？

观察表格，我们发现对函数 $f(x)$ 而言，定义域无论是从左往右还是从右往左逼近于 $1$，函数的值都无限趋近于 $3$，那么我们可以认为该函数 $f(x)$ 在 $x=1$ 处的极限值就是 $3$，用数学语言表达即是：$\lim\limits_{x \rightarrow 1} f(x)=3$。

这个例子很好地展示了我们如何通过构造表格、计算数值和绘制图形，来粗略地估测一个函数在某点的极限值。

我们可以用其他函数来自己测验，比如对 $f(x) = \dfrac{x-1}{x^{2}-1}$ 函数，我们要求其在 $x=1$ 处的极限值，就先计算数值、列出表格：

进而我们发现，函数在 $x$ 从左往右或从右往左趋近于 $1$ 时，函数的值 $y$ 无限逼近于 $0.5$。所以我们就可以认为，该函数 $f(x)$ 在 $x=1$ 处的极限值为 $0.5$，用数学语言表达即是：$\lim\limits_{x \rightarrow 1} f(x)=0.5$。图示如下：

上面举的两个例子，都是函数在该点处没有定义的。所以我们要强调的就是，当我们在求函数在某点处的极限是不需要考虑函数在该点值是多少，也不需要考虑函数在该点到底有没有定义。下图中所列举的三种情况，函数 $f(x)$ 在 $x=a$ 点的极限值都是 $L$，没有差别。

虽然我们可以用数形结合的方法去估计一个函数的极限值，但这样做却有许多弊端。

首先就是流程很繁琐，我们每次计算极限时，都要画表格、算数据、绘图像，不仅效率很低，而且容易出错。其次就是数形结合的估值方式，有一定的误差，有些函数往往看起来极限值已经很确定了，但其实并不正确。比如我们看下面这个有趣的函数：

\begin{equation*} f(x) = \left(x^{3}+\frac{\cos 5 x}{10,000}\right) \end{equation*}

对这个函数，如果我们要求其在 $x=0$ 处的函数极限（即求 $\lim\limits_{x \rightarrow 0}\left(x^{3}+\dfrac{\cos 5 x}{10,000}\right)$），若我们依旧对其进行简单地计算、列表，就会得到下面这样的表格：

粗略一看，我们可能会得出：当 $x$ 无限趋近于 $0$ 时，函数值 $y$ 也无限趋近于 $0$ 的结论，即$\lim\limits_{x \rightarrow 0}\left(x^{3}+\dfrac{\cos 5 x}{10,000}\right) = 0$，然而事实真是如此吗？当我们继续把精度提高，就会发现：

是的，当 $x$ 的精度提高到小数点后 $3$ 位时，我们才发现，函数值 $y$ 其实是趋近于 $0.0001$。用数学语言表达即是：

\begin{equation*} \lim _{x \rightarrow 0}\left(x^{3}+\frac{\cos 5 x}{10,000}\right) = 0.0001 \end{equation*}

上面这个函数的极限还不算过于隐蔽，但有的函数光靠估值法去计算极限是几乎行不通的，只有借助专业的数学软件，我们才能看清楚该函数在某点处的图案呈现什么样子。比如下面这个函数：

\begin{equation*} f(t)=\frac{\sqrt{t^{2}+9}-3}{t^{2}} \end{equation*}

对于这个函数，如果我们要求其在 $x=0$ 处的函数极限（即求 $\lim\limits_{t \rightarrow 0} \dfrac{\sqrt{t^{2}+9}-3}{t^{2}}$），若还是简单地列出值域表格，我们会得到：

看起来这个函数是偶函数，是关于 $y$ 轴对称的函数，它在 $x=0$ 处的函数极限值为 $1.666666$，即有：

\begin{equation*} \lim _{t \rightarrow 0} \frac{\sqrt{t^{2}+9}-3}{t^{2}}=\frac{1}{6} \end{equation*}

然而事实真的如此吗？当我们把精度提高到足够大时，用计算器计算，我们会发现一个奇怪的事：

是的，计算器告诉我们，该函数在 $x=0$ 处的函数极限值为 $0$。但很遗憾，这次是计算器错了，该函数在 $x=0$ 处的极限值就是 $\dfrac{1}{6}$。当我们将 $t$ 取得足够小时，计算器就会给我们一个错误的数值。如果我们想用软件绘制出该函数的图形，下面的第一幅图和第二幅图就正确地展示了该函数的图像。但如果我们将图像放得很大很大，就会在软件上得出下面第三幅图和第四幅图的图形，这其实是不准确的。

并不是所有函数在定义域中都有极限。当我们见识了更多的函数图像之后，我们会发现一些函数在某点处，似乎找不到满足极限定义的值。比如下面这个函数：

\begin{equation*} f(x)=\frac{|x|}{x} \end{equation*}

根据初等数学，我们可以将上面的这个函数去掉绝对值符号，改写为：

\begin{equation*} f(x) = \frac{|x|}{x}=\left\{\begin{aligned} 1, &\quad x>0 \\ -1, &\quad x<0 \end{aligned}\right. \end{equation*}

如果我们要求该函数在 $x=0$ 处的极限值（即求 $\lim\limits_{x \rightarrow 0} \dfrac{|x|}{x}$），当我们画出函数图像后会惊讶地发现，它在 $x=0$ 处形成了一个断层，这就表示函数在 $x=0$ 处不连续了，进而我们会发现当 $x$ 从左往右逼近 $0$ 和从右往左逼近 $0$ 时，函数值所逼近的数完全不同。

遇到这种函数在某点处的左右极限值不相等的情况，那么我们就规定，该函数在此点处没有极限，或极限不存在。

除了左右极限不相等，我们还时常会碰到下面这种函数：

\begin{equation*} f(x)=\frac{1}{x^{2}} \end{equation*}

对于这个函数，若我们要求其在 $x=0$ 处的极限（即求 $\lim\limits_{x \rightarrow 0} \dfrac{1}{x^{2}}$），我们会发现，当 $x$ 无论从左往右还是从右往左逼近于 $0$ 时，函数值 $y$ 永远没有一个确定的趋近值，而是趋向于无穷大，画出图像可以很直观地看出来：

遇到这种函数在某点处的极限值是无穷大情况，那么我们就规定，该函数在此点处没有极限，或极限不存在。

有一种很特别的函数叫震荡函数，如：

\begin{equation*} f(x) = \sin \dfrac{1}{x} \end{equation*}

对于这个函数，若我们要求其在 $x=0$ 处的极限（即求 $\lim\limits_{x \rightarrow 0} \sin \dfrac{1}{x}$），我们会发现，当 $x$ 无论从左往右还是从右往左逼近于 $0$ 时，函数值都在 $-1$ 到 $1$ 之间来回震荡，且离 $0$ 处越近，震荡的频率越高，用软件画出函数图像可以清楚地看到：

我们再列出函数值的表格，可以观察得更加清楚：

遇到这种震荡函数，我们认定，该函数在震荡点处没有极限，或极限不存在。

上面列举的三种情况，都较为常见，然而还有一些奇异函数，他们在某点处也不存在极限，比如下面的狄利克雷函数(Dirichlet function)：

\begin{equation*} D(x)=\left\{\begin{array}{ll} 0, & x \text { 是有理数 } \\ 1, & x \text { 是无理数 } \end{array}\right. \end{equation*}

当然，我们知道在数学中，有理数集合可以用符号 $\mathbb{Q}$ 表示，整个实数集可以用符号 $\mathbb{R}$ 表示，实数中除了有理数外都是无理数，无理数是有理数的补集，所以无理数集合可以用符号： $\complement_\mathbb{R}\mathbb{Q}$ 或 $\mathbb{R}-\mathbb{Q}$ 表示。那么我们将狄利克雷函数写得专业一点，就是：

\begin{equation*} D(x)=\left\{\begin{array}{ll} 0, & x \in(\complement_\mathbb{R}\mathbb{Q}) \\ 1, & x \in \mathbb{Q} \end{array}\right. \end{equation*}

当然，如果你不喜欢分段函数这一低级写法，你甚至可以把狄利克雷函数写成如下这样，当然这种形式几乎没人能看懂了：

\begin{equation*} D(x)=\lim _{k \rightarrow \infty}\left(\lim _{j \rightarrow \infty}(\cos (k ! \pi x))^{2 j}\right) \end{equation*}

无论怎样写，我们都须明白，有理数和无理数都有无穷多个，我们永远也无法画出狄利克雷函数的图像，该函数在定义域内处处不连续，处处不可导。我们可以将狄利克雷函数图像理解成一个上下振荡的点图像，我们永远也无法用描点的形式画出实轴上所有的有理数和无理数。我们认定，狄利克雷函数在定义域的任何地方都没有极限。

刚才我们知道，要使函数在某点处有极限，必须满足在该点处的左右极限相等，即 $x$ 从左往右或者从右往左逼近该点时，$y$ 都要趋近同一个值。否则就会如 $f(x)=\dfrac{|x|}{x}$ 函数一样，在 $x=0$ 处的左极限和右极限不同，它在图像上就会表现出一个断层，也即是说，该函数在图像上并不连续——这里我们就引入了函数连续性的概念。

数学上的连续性其实和生活中说的连续是差不多的。非正式地形容，函数如果在定义域上连续，那它在图像上的表现就是没有中断。这里的没有中断，包含了多种情况——没有孔洞、没有跳跃、没有间隔等。否则，函数在该点处就是不连续的。函数 $f(x)=\dfrac{|x|}{x}$ 在 $x=0$ 处就是不连续的，也即是中断的，因为它符合中断情况的其中一种——跳跃。下面的三种情况，都是函数在 $c$ 点处不连续。

我们观察上图，第二和第三种情况都是函数存在跳跃，函数一旦跳跃则必然是间断的、不连续的。不同的是，第二种情况的跳跃直接导致了函数在跳跃点处的左右极限不相等，而第三种情况虽有跳跃但函数在跳跃点处的左右极限是相等的，只是左右极限值不等于该点处的函数值。再看上图的第一种情况，它显然是不连续的、是中断的，因为它符合不连续的情况之一——有孔洞，但是我们发现虽然函数在孔洞点处不连续，但并不妨碍它在这里存在左右极限，且左右极限相等。

经过一系列的分析，我们就可以得出这样的结论：函数连续则必然可推出函数存在极限；但是函数存在极限并不能一定得出函数连续。这种“有极限不一定连续，但连续一定有极限”的情况，用数学的话来说，就是“函数有极限是函数连续的必要不充分条件”。

数学是严谨的，对函数连续性的描述，若仅仅是用生活中的“没有间断、没有中断”等含混不清的表达，虽然易于理解但失之严谨，同时，我们已经理清了函数连续和极限的微妙关系，那我们不妨就用极限来让函数连续的定义更加严谨、更加“数学化”。

我们认为：当满足以下这三个条件时，函数 $f(x)$ 在 $c$ 点处是连续的。

1. 函数在点 $c$ 处有定义；（排除了存在孔洞的情况）
2. 函数在点 $c$ 处的极限存在，即 $\lim\limits_{x \rightarrow c} f(x)$ 存在；（排除了存在第二种跳跃的情况）
3. 函数在点 $c$ 处的极限值等于函数值，即 $\lim\limits_{x \rightarrow c} f(x)=f(c)$。（排除了存在第三种跳跃的情况）

刚才我们知道了函数在某一点处连续的标准定义。如果该函数在某个开区间 $(a,b)$ 内，处处连续，那么我们就说该函数在开区间 $(a,b)$ 上是连续的。如果它在开区间 $(-\infty, +\infty)$ 上处处都连续，那么我们就说该函数在实数区间内是连续的。

要讨论函数在闭区间上的连续性，我们需要先引入一个概念——单侧极限。

函数在某点处存在极限的一个条件，就是在该点处左右极限相等，这里的左右极限就是单侧极限的意思。函数在 $c$ 点处的左极限，就是意味着 $x$ 从小于 $c$ 的值逼近 $c$；函数在 $c$ 点处的右极限，就是意味着 $x$ 从大于 $c$ 的值逼近 $c$。

函数在 $x=c$ 处的左极限如果存在且等于 $L$，那么用数学表达即是：

\begin{equation*} \lim _{x \rightarrow c^{-}} f(x)=L \end{equation*}

函数在 $x=c$ 处的右极限如果存在且等于 $L$，那么用数学表达即是：

\begin{equation*} \lim _{x \rightarrow c^{+}} f(x)=L \end{equation*}

我们知道，只有当函数左右极限存在且相等时，才说函数在 $x=c$ 处存在极限，极限是 $L$，用数学表达即是：

\begin{equation*} \lim _{x \rightarrow c^{-}} f(x)=\lim _{x \rightarrow c^{+}} f(x)=L \end{equation*}

单边极限的概念允许我们将连续性的定义扩展到闭区间上。我们说，当一个函数在开区间 $(a,b)$ 内连续并且在端点 $a$ 和 $b$ 处表现出单边连续时，就说它在封闭区间 $[a,b]$ 上是连续的，半开半闭区间（左闭右开、左开右闭）是同样的道理。

问：求$\lim\limits_{x \rightarrow 0} \dfrac{x}{\sqrt{x+1}-1}$

解：画出函数图像

列出函数值表：

结论：$\lim\limits_{x \rightarrow 0} \dfrac{x}{\sqrt{x+1}-1} = 2$

问：求$\lim\limits_{x \rightarrow 3} \dfrac{2x}{x-3}$

解：画出函数图像

我们发现，当 $x$ 从右往左趋近于 $3$ 时，函数值趋向于正无穷，即$\lim\limits_{x \rightarrow 3^{+}} \dfrac{2 x}{x-3}=\infty$；当 $x$ 从左往右趋近于 $3$ 时，函数值趋向于负无穷，即$\lim\limits_{x \rightarrow 3^{-}} \dfrac{2 x}{x-3}=-\infty$。无论是正无穷还是负无穷，它们都没有一个确定的函数值，所以，该函数在 $x=3$ 处不存在极限。